studierte Kirchenmusik an der Staatl. Hochschule für Musik in München, das Fach Orgel bei Prof. Franz Lehrndorfer. Nach seinen Examina war er drei Jahre Chordirektor in der Pfarrei St. Josef in Memmingen. Für seine musikalischen Verdienste verlieh ihm die Stadt Memmingen im Jahre 1977 den ersten Kulturpreis. Anschließend wirkte Josef Fleschhut als hauptberuflicher Kirchenmusiker vier Jahre an der Stadtkirche St. Verena Bad Wurzach und war gleichzeitig Dekanatskantor für die Dekanate Bad Waldsee und Leutkirch. 1982 wurde er von der Diözese Rottenburg-Stuttgart zum Diözesanmusikdirektor berufen und war gleichzeitig Direktor der Kirchenmusik- schule Rottenburg. Seit 1991 ist Josef Fleschhut als Kirchenmusiker auf Teneriffa, um sich dem Aufbau der Kirchenmusik sowie der Ausbildung von Kirchenmusikern und Organisten zu widmen.

Durch seine Initiative und mit Unterstützung der Diözese Rottenburg-Stuttgart (Referat für Weltkirchliche Aufgaben) sowie Spenden aus Spanien, Deutschland, Österreich und der Schweiz konnte 1992 eine Orgel der Fa. Johannus (Holland) in der Kath. Kirche in Los Cristianos und 1994 eine Pfeifenorgel mit 36 Registern in der Kath. Kirche in EI Medano (größte spielbare Pfeifenorgel der Kanaren) geweiht werden. Beide Instrumente sind in liturgischer und konzertanter Hinsicht nicht mehr wegzudenken.